第14章 均值不等式

【《数学小灵通》通讯赛试题，1987年第4期，小学部分】 填空题。 第一题。 “最小的质数与最小的合数的乘积是（）？” “8。” 陈迟握着铅笔，像是在试卷上填写名字、填写准考证号一样，随手这个答案写在纸上。 第二题。 一个长方体的棱长总和是48cm，长、宽、高的比是3:2:1，那么它的体积是（）立方厘米？ 如果陈迟是一名小学生，也许他会将棱长总和分成四份，算出一组的长宽高之和，然后再按比例得出长、宽、高，最后求体积。 如果他是一名初中生，也许他会列一元一次方程，设长宽高分别为3x、2x、x。 如果他...... 没有什么如果。 随着48cm总棱长和长、宽、高比例信息的出现，一个长方体透明模型已经自动生成于陈迟的视网膜之中。 体积=......48立方厘米。 不用算，一切都完全是可以直接看到的结果。 “下一题。” 第三题、第四题、第五题...... “呼哈——”陈迟捂着小嘴打了个哈欠。 他放下了手上的铅笔，没再继续做题。 又是那种讨厌的感觉。 一种让他很不舒服的感觉。 不是身体上的不舒服。 晚饭那几块红烧肉下肚，在胃里一层层拆解成糖、脂肪和蛋白质，热量顺着血管往四肢百骸里淌。 他胃里暖融融的，手心脚心都热着。 整个人像一台刚加满油的发动机。 怠速平稳，水温正常，机油压力充足，随时可以踩下油门。 可前面的路......限速。 《数学小灵通》上的题目，再往后翻还有好几页。 但陈迟不想做了。 太无聊了。 做下去也是一样。 一眼扫过去，数字就开始自动的拆解、组合。 不需要草稿纸，不需要列式子，不需要画图，不需要做辅助线...... 因为答案会没有任何阻力的自动浮现在他眼前。 对他来说，做这些题目，和抄写课文、抄写单词这种无聊而繁琐的手工劳动没有任何区别。 都是肌肉在动，脑子闲着。 他感觉自己就像个满油的柴油机，活塞在气缸里疯狂地反复，曲轴却只能无意义的空转。 这种滋味让他异常烦躁。 他强忍着，皱着眉头，又往后翻了几页。 纸页哗啦一响。 【《数学小灵通》通讯赛试题，1987年第4期，中学部分】 第十二题。 填空题：M=1/2018+1/2019+1/2020+......+1/2050，1/M的整数部分为（）？ 陈迟翻书的手停住了。 他握着笔，手悬在半空，盯着题目那几个字。 虽然那个答案还是几乎瞬息就浮现在他的视网膜之中。 几乎没有任何阻力。 但跟刚才不一样，小学部分的那些题，答案是直接杵在眼前的数字。 这一道题，虽然答案还是很快就到了，但这中间比刚才多了一条路，从题目到答案之间的路。 陈迟可以玩一下了。 这道题的答案确实不费力就能到。 但他可以选择在路上多走一会儿。 他可以左边绕两步，右边绕两步，看看路边的草是什么样，看看泥土是什么颜色，说不定还能发现几条捷径...... 其实这道题很简单。 2018到2050一共有33个数，求近似的值可以用第17个数作为中间值，那么M就近似33/2034，所以1/M约等于2034/33。 答案就是61。 但陈迟不想就这么直接填入这个答案。 他握着铅笔，从一旁拽过来一张草稿纸，然后他“啪啪啪”在上面点了三个点，一个倒三角的点： ∵ 逻辑符号，因为。 “∵M=1/2018+1/2019+1/2020+......+1/2050。” “∴33/M=33/(1/2018+1/2019+1/2020+......+1/2050)” M不管等于多少分之一，它都是一系列正数的倒数之和。 而它倒数的33倍，也就是33个连续整数的调和平均数。 所以只需要找到上下界就能确定范围得到结果。 这也就是...... 均值不等式。 陈迟握着铅笔，噼里啪啦在白纸上写下一串不等式和推导。 在繁琐的工作之后，他得到一个结果，一个他早就知道的结果：61。 “还不够。” 写完这一串，看着白纸剩余的空处，陈迟觉得还没玩儿够。 他握着铅笔，在草稿纸上继续往下推。 这次他没有用近似值，而是换了一条完全不同的路。 他把M拆了，把2018到2050这33个数分成前后两半。 然后...... “放缩。” 数列的单调性是个好东西，前半段放缩成第一个数，后半段放缩成最后一个数，夹出来的范围比刚才窄了一截。 他又换了一种拆法，不按前后拆，按奇偶拆，又收紧了一点。 铅笔在纸上刷刷地走，数字和不等号一行接一行地往外蹦。 陈迟没有意识到，他那张小脸上，刚才还挂在眉梢的烦躁，不知道什么时候已经被彻底磨平，取而代之的是一种很少出现在小孩子脸上的神色 ——狂热。 “还不够。” 陈迟就好像报复性消费一样，遇到一道能玩儿的题，就一定要把它彻底玩儿到过瘾。 这次他画了一个坐标系。 横轴是整数，纵轴是倒数。 然后他攥着铅笔，在坐标系上一描，2018到2050的区间出现了一条递减的曲线。 然后他把每个整数值对应的矩形画了出来，33个细长的矩形，一个挨一个，排成一道歪歪扭扭但秩序森然的阶梯。 这是一种本能。 高速运转的思维引导着他这么走，然后他惊讶的发现。 这条路竟然能走通。 可他完全不知道，在数学界，人们对这玩意儿其实有个称呼。 黎曼和。 陈迟不知道。 他只知道自己在做一件很愚蠢的事情。 明明只需要一条直线，他却费劲巴拉的把一条直线画成了迷宫。 但他觉得浑身舒坦了。 满油的柴油机终于能轰上一脚油门。 虽然车子没有跑多远，但发动机吼的很痛快。 总之就是一个字： 爽！ ...... “真不错，导演有水平，把《红楼梦》拍活了。” 门被推开，陈庆祝和胡芬芳谈论着刚才看过的《红楼梦》剧情，脸上写满了意犹未尽。 “陈小旭真漂亮。” 陈庆祝一个劲儿的说着，“谁说咱们东三省不产美女，我看......” “嘘！” 胡芬芳拍了他后背一下，指了指床上已经裹着被子睡熟的陈迟。 “小点儿声。” “嗯嗯。”陈庆祝顺从的点点头。 胡芬芳走到炕边，把陈迟蹬开的被角掖回去，看到他枕边还放着一本掀开的杂志，又瞥见桌上还亮着的台灯，以及台灯下的那张......黑纸。 它原本是白色，可现在，它被黑乎乎的数字、符号、图形所填满。 胡芬芳试着看了一眼，只觉得那些内容复杂到让她脑袋发疼。 “小学的东西这么难么？”胡芬芳有点儿懵。 “你那文凭看不懂也正常。” 陈庆祝刮着胡子，从胡芬芳手上拿过那几页纸，然后绷着的嘴唇，就再也没办法绷住。 “ber。” “这群小学老师都疯了么？！” ...... ...... ......