第39章 高尚的贝叶斯（上）

头顶的日光灯管在嗡嗡作响，时不时的闪一下。 陈迟仰着脑袋，看着墙上用粉笔所写下的那道题目。 然后他蹲下去，慢吞吞的捡起了墙角断掉的半截白色粉笔。 周遭的一切渐渐安静下来，所有的噪音都迅速退远变得模糊。 在陈迟的世界里，只剩下面前的这堵墙，以及墙上的这道题目。 那颗高速运转的大脑，第一时间对这道题进行了分析和拆解。 如果从常人的视角出发来看待这个问题。 如果B必死，那么A和C的赦免概率就是二分之一。 这怎么想都是正确的。 如果是A问了狱卒，C就能提升赦免概率到三分之二，那么如果换作是C问了狱卒，A的赦免概率不就得到提升了吗？ 所以乍一看，这个问题好像是个悖论。 但如果从数学的角度出发，这其实就是个反直觉的概率问题。 在B必死的前提下，求事件C被赦免的概率。 也就是在已知事件b发生的前提下，事件a发生的概率，P（a|b）。 条件概率。 要描述两个事件条件概率间的关系。 一系列的前提组合在一起，迅速唤醒了陈迟脑海深处的一个定理： 贝叶斯公式。 P（A|B）=P（B|A）/P（B）xP（A） 这是一个看似平平无奇，但格外实用的公式。 陈迟粉笔头在指腹转了半圈。 那种微涩的颗粒摩擦感，从指尖一路涌上神经中枢。 对于这栋楼里的初中考生来说，这道题确实是极具迷惑性的。 因为它不仅需要你懂得从概率、相关性出发运用贝叶斯公式，而且需要掌握条件概率、概率乘法公式以及全概率公式。 但在陈迟看来。 这道题其实很简单。 它甚至只能算的上是个趣味题，连竞赛的门槛都够不着。 他脑子里已经开始跑了。 手里的粉笔头也开始划拉在墙上，触到墙面的瞬间发出细碎的噼啪声。 先做事件定义。 在先验概率均为1/3的情况下。 设事件A、B、C分别表示对应囚犯被赦免，事件b为A得知B将被处死。 那么计算似然度。 也就是看守回答问题的策略。 若A被赦免，那么B、C均必死，看守随机选其一告知，所以P（b|A）=1/2。 若B被赦免，那么看守不能说B死，所以P（b|B）=0。 若C被赦免，B必死，C活，那么看守只能说B，所以（b|C）=1。 ...... 这是最简单的数学逻辑。 一点都不绕。 就像是理解“爱喝酒的父亲去给孩子买尿布那么啤酒的销量也会增加”一样简单。 接下来就是套公式，全概率公式求分母P（b）。 P（b）=P（b|A）P（A）+P（b|B）P（B)+P（b|C）P（C）=1/2x1/3+0x1/3+1x1/3=1/2 这不是有手就行？ 简单的令人发笑。 最后贝叶斯公式得出结果。 P（A|b）=P（b|A）P（A）/P（b）=1/6÷1/2=1/3 A被赦免的概率为1/3。 P（C|b）=P（b|C）P（C）/P（b）=1/3÷1/2=2/3 C被赦免的概率为2/3。 证毕。 陈迟捏着那截粉笔头，垂下手，慢吞吞地转过身。 “你们简单看看吧。” 说这话的时候，他的指尖还残留着粉笔灰，以及那种特有的粗涩感。 走廊里依旧一片静谧。 但此刻，已经不只有王强和孙晓光两个人了。 至少七八个学生在走廊里站着，并且这个人数还在越来越多。 一个戴圆框眼镜的男生，本来是要出来上厕所，无意间扫过那面墙上的粉笔字，动作就停住了。 一个穿背心的男生打着哈欠，不明白房间门为什么开着，看到墙面前那些人影，脚步慢了一拍，然后也凑过来，停住了。 越来越多的人在加入。 但没人说话。 人群里最明显的声音就是呼吸，甚至连呼吸都屏着，他们死死盯着墙上的字。 那些白色的数字和推导，在日光灯下泛着柔和的光。 因为陈迟不够高，踮着脚才将题目做完，所以那些字排列的不算整齐，但每一行都老老实实地待在应该在的位置上。 “哇......”这是一个被这道题难了一晚上的学生发出的声音。 没有夸张的跳起来、拍大腿，只有一声淡淡的“哇”，声音很小，小到甚至没人能听清。 那是一种困惑被解开之后涌上来的、带有温度的释然。 他甚至没意识到自己出了声。 一个穿拖鞋的女生，手里攥着一条从房间带出来的干毛巾。 她的眼睛很亮。 这道题她在房间里想了两个小时，最后搁笔的时候得出了“二分之一”的结论，这是她的结论，但没办法说服自己，因此总有一个地方隐隐发痒。 现在她知道了那个发痒的地方是什么。 她看着墙上那几行漂亮的算式。 那是一整个推理过程的摊开，每一个步骤都写着，没有省略，没有跳步。 从事件定义到似然度到全概率到贝叶斯代入。 一条路从起点铺到终点。 那种思维和逻辑的流畅感。 简直完美。 几分钟的时间，走廊里一共站了十几个人。 这些人或多或少的被这道题钩住了一段时间，各自带着不同程度的困惑躺到床上。 现在他们站在这面墙前面，安安静静地读那些粉笔字，然后脸上浮现出一种相似的、轻微的松弛。 像是有一口气，在他们的胸口同时呼了出来。 陈迟站在墙边。 他的姿势很随意，垂着手，肩膀松着，像一个刚写完作业还没决定接下来要做什么的人。 没有人围着他说“你真厉害”或者“你怎么做到的”。 那些话被省略了，因为答案就在墙上，清清楚楚的，谁看谁知道。 所有人的反应都指向那面墙而不是指向他，这让陈迟觉得很舒服。 他把粉笔丢进垃圾桶。 明天还要考试，他要睡觉去了。 ...... 第二天的清晨，比所有学生更早醒来的是抹布、水桶和拖把。 打扫卫生的王阿姨五点半就拎着水桶从一楼开始一层一层的往上打扫。 不久，她拖着墩布上了三楼，桶里的水晃荡着。 然后她看见了那面墙。 墩布从她手里啪的一声杵在地上，水桶溅出来一小片水渍。 ...... ...... ......