第44章 收刀入鞘

8：00。 “各位考生，现在开始答题。”监考老师的声音发出。 “哗啦啦。” 所有人开始动了。 陈迟的卷子铺平在桌面上，纸张的触感光滑而干净。 【第二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛辽东赛区试卷——中学组】 整张卷子简直空的要命。 没有密密麻麻的一行行选择、填空。 六道大题。 三个小时。 这就是省赛。 它的目的不是市赛那样，靠速度和准确率进行海量筛选。 这份卷子要考的是思维纵深。 它一共就六道题，虽然少，但重的像六座大山，横在所有人的眼前。 每一座山爬过去了就是爬过去了，爬不过去就是爬不过去。 没有选择题可以蒙，没有填空可以猜。 每一步推导都要落在纸面上，每一个结论都要有前提撑着。 阅卷老师会顺着你的解题轨迹一路看下来。 在哪个节点出了岔子，就在哪个节点把你的分数截断。 时间一分一秒的过去。 考场里的做题氛围却没变得热烈起来。 空气几乎是沉默的寂静。 一开始还有人写算，但现在，似乎只有断断续续的几声笔落在试卷上的声音。 大部分人都是把笔握在手里，偶尔在草稿纸上点了几下，或是在卷子上写个“解”字，之后再想写点什么出来比从身上挤出奶都困难。 坐在陈迟前方的是一名来自抚市的女学生。 从市赛中脱颖而出以后，她对竞赛的难度有了预判，参加这次省赛，她自以为心中有数。 可现在看着面前的这份试卷，看着第一道题目，在脑海中推算一会儿以后，她长长的叹了一口气。 “ctm啊。” “这都是啥啊......” 第一题的题目相当简单。 只有一个二元二次方程。 但是题目越短，事情越大。 因为它现在要求的是这两个未知数的值，给出一组正整数解就可以。 到这里问题还不算太大。 但再仔细一看，等式右边写了一个庞然大物——八位数！ 这个女生在看清楚这个八位数的第一瞬间就直接懵掉了。 因为这道题一眼看过去真的找不到任何技巧。 似乎只能靠猜，看看能不能猜出一组x和y的解，让他等于那个八位数的值。 而想猜出这么一组正整数...... 真的全靠运气。 除了运气，就剩下科技。 上Java、python或者c#...... 或者豆包、ChatGpt、Deepseek...... 可，时代还没变。 没有运气、没有科技，按照常规的方法来枚举，纯靠手算的话...... 这个计算量就太恐怖了！ 省赛的学生们当然也不会笨到只靠猜。 他们当然能意识到。 这道题里，出题人的目的是要他们看穿这个八位数的本质。 这一定是个因式分解问题。 但具体怎么分解。 这正是困住大部分考生的一步。 “呼......哈......” 深呼吸的声音，此起彼伏，接连不断。 但这些考场上不断发出的噪音，不会顺着陈迟的耳朵传入中枢神经。 他已来到了独属于他的世界边缘。 “（256，4403）” “（344，4397）” “（581，4372）” “......” 在所有考生和出题人勾心斗角的时候，陈迟的视网膜前缓慢跳动着一组组的数字。 每一组，都是这个二元二次方程的一组正整数解。 “唉。” 陈迟叹了口气。 不是难。 而是拥有这种能力的他。 碰上这种题。 真的很无聊。 他可以随手选一组答案写上去。 但那么做这道题的话，好像也太没意义了。 于是他握着笔，写下一行式子： （ac+bd）²+（ad-bc）²=（a²+b²）（c²+d²） 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式。 他将八位数拆解为两个整数的乘积。 然后再将两个整数，拆解为两个数平方的和。 代入代数恒等式，直接得到一组正整数解： x=4403 y=256 秒了。 带上解字，一共写了四行。 从婆罗摩笈多-斐波那契恒等式开始，到代入拆解，到最后的x，y结果，整道题只占了答题区不到三分之一的空白。 全程用时不超30秒。 关键不在于公式。 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式并不偏门，会的学生很多，就算不知道，拉格朗日恒等式照样能解题。 关键是对数字的感觉。 要看穿这个八位数，不靠运气的话，大部分学生就算能做到，也要花费大量的时间。 陈迟不一样。 他看穿这个八位数。 只需一眼。 “呼。” 前面的女生又长叹了口气，眉头始终拧着没有展开过。 她已经放下笔了，整个人坐佛似得坐在位子上，眼观鼻，鼻观口。 她看向那道题。 越看越没头绪。 越看越绝望。 她开始犹豫，在这种因式分解无望的时刻，要不要转而枚举，海量计算来得出结果。 左脑这样，右脑那样，两种思路绝不会齐头并进，而是在脑袋里开始打架，把整个脑海打成一锅粥、一团浆糊。 一片混乱之中，时间就像是加快了流逝速度。 等女生浑浊的双眸再次明亮起来，她抬头看表，惊恐的发现分针已经转了15分钟。 “嘶......呼......” 喘息声更重了。 而就在这个时候，背后传来一声清亮的“哗啦”，那是试卷翻动的声音。 那代表着她身后的考生，做题进度已经快到要做第二页。 女生满眼惊恐的抬起头。 她想转过去看一眼，但她不能。 她只能感觉到背后仿佛有把刀子在悬着一样，让她手脚冰凉、冷汗直流。 然而这还不是最灾难的。 当她开始关注自己背后的声音，她就能听到连续不断的“笃笃笃”。 那是笔尖隔着试卷触碰到桌子所发出的轻微敲击声，代表着那个人在飞速的计算、推导，思路没有一丝的停隔。 摆在陈迟面前的，是这张试卷的第四题。 这是一道数列题。 陈迟用的解题方法并不难，反证法、归纳法、集合...... 这些东西就算是普通的高中生来了，也基本上都能看懂，都很常见，在这样一场竞赛里，绝对没人说这道题是超纲的。 因为它不考察任何高深的知识点。 和前面的题目一样，它唯一需要的就是你有数学想象力。 因为这道题没有多少逻辑和技巧可言，它就考你看到这道题，能不能猜出来或是灵光一现。 你脑海里那条线接上了。 那就连通了，这分你拿。 你接不上。 那就卡死在那，只能没头苍蝇一样乱撞。 b2/b1＜（2+1）/1 bn/b1＜n（n+1）/2 陈迟握着钢笔，“唰唰”的写着，答题部分已经写满了将近三分之二。 从这里推到那里，又推出上面。 繁复而严谨的证明。 密密麻麻的往后写。 这种唰唰的写字声，在这个死寂到近乎绝望的考场里，分外刺耳。 尤其是坐在前排的那个女生，从她开始关注那个声音，那个带着某种奇特韵律的声音就再没在她的耳边停止过。 焦躁。 不安。 手，放在了头皮上，不断的抠动，等她意识到的时候，指尖已经沾了一层薄薄的油汗，指缝里嵌着几根掉下来的碎发。 她再看向钟表。 时间的流逝不会缓解一丝她的不安，而是把压力加重、放大。 女生彻底放下了笔，趴在了桌子上，没人知道她在哭，还是别的什么。 没人在意。 陈迟更不会在意。 他完全沉浸在数学的世界里。 第六题。 最后一题。 作为压轴的是一道几何题，出题人画了一个凸四边形和两个圆组成的复杂图形。 求证四点共圆。 陈迟看到这道题的第一瞬间就觉得。 出题人给的干扰线段太多了。 那么多的圆，那么多的线。 哪有那么复杂？ 太多的冗余元素可以消去了。 陈迟知道出题人的想法，他大概是要考生灵感一现，想出一种极精妙的几何方法，用作平行线和相似三角形来证明。 但他不打算那么做。 在他的数学思维里。 审美支配一切。 出题人搞出这么丑的东西，那是他的错，而不是考生的错。 考生没有那个义务对着这个丑东西做题。 丑的东西就该先被优化。 于是他搬出正弦定理，几行计算证明怼上去。 圆没了。 点没了。 原本复杂的几何图形。 现在就剩下一个光秃秃的凸四边形。 陈迟放下尺子，嘴角微微上扬。 现在他满意了。 这道题也彻底清晰明了。 利用分角定理和平行线分线段成比例定理计算就完事儿了。 于是他开始动笔。 证明： 设BP，DQ交CA于I，I”，∠BAD内四个小角为∠1，∠2，∠3，∠4。 则θ=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BPA。 ...... △ABI中，由正弦定理得AI=ABxsin∠1/sin∠3，同理AI”=ADxsin∠2/sin∠4。 ∴AI=AI”，即I，I”重合。 则IPxIB=IA²=IQxIQ 即PBDQ四点共圆。 没有精妙至极的几何方法，甚至没用到太多的几何性质和方法，相似、共圆都没用上。 顶多用了点简单的圆幂知识。 非要说什么最关键，那大概是陈迟把出题人给“砍”了。 哦不，是出题人的图形。 证毕。 陈迟松了口气。 看着面前已经被密密麻麻推导填满的卷子，他十指交拢，稍稍的活动了下手腕、手指。 看了眼手表。 9点25分。 周围空气里充斥着一种令人窒息的平静。 考试进行到现在，人仰马翻无数。 大部分人现在都在发呆。 也有人在双手颤抖着，在草稿纸上一遍遍无意义的重算。 每算一遍。 绝望更增加一分。 “咔嚓。” 陈迟盖上钢笔的笔帽，声音利落干脆如收刀入鞘。 几个听到声音的学生惊恐的朝着陈迟看去。 一片寂静之中，那一根根早已绷到极限的弦。 应声而断。 ...... ...... ......