5、平时分拿满分，就为了上我的课刷行测？

“斜率？” 张洪涛微微挑了下眉，不置可否。 这个词确实是前面几节课讲过的，而且对于在场一众学生来说，这个知识点甚至在高中的时候就讲过了。 这，并不属于超纲知识。 但如何用斜率来证明这道题，他们还是很茫然。 都不明白，斜率这玩意儿也能用来证明“解的非唯一性”？ “感觉跟这道题没什么关系啊！” 有人小声嘀咕着。 林枫没有废话，直接在黑板右边画了一个坐标系。 “y"=y^(23)，这个方程的意思是，在平面上任意一个点(x，y)处，解曲线经过这个点时的斜率就是y^(23)。” “那我们来看看y=0这条线附近会发生什么。” 他在x轴上方标了几个点，分别标注了对应的斜率值。 “当y=0.1的时候，斜率是0.1^(23)≈0.215。” “当y=0.01的时候，斜率是0.01^(23)≈0.046。” “当y=0.001的时候，斜率是0.001^(23)≈0.01。” 他边写边说着： “大家注意到没有，y越接近0，斜率越接近0。” “也就是说，在y=0附近，解曲线几乎是平的。” 说到这里，他在坐标系上画了一条沿着x轴趋近的曲线。 “那y=0本身呢？斜率是0^(23)=0，完全是平的。” “所以y恒等于0，也就是x轴本身，它就是一条解曲线，而且斜率处处为零，完全躺在x轴上。” 台下有人嗤笑了一声，但很快又憋了回去。 因为他发现周围所有人都听得全神贯注。 打游戏的不打了，看小说的不看了，听歌的不听了。 全都沉浸在了林枫的讲解中： “但问题在于，分离变量法还能解出另一条解曲线y=(x3)³。” “这条曲线在x=0的时候，y(0)=0，也经过原点。” “而且在原点附近，y=(x3)³的值非常小，对应的斜率y^(23)也非常小，和x轴几乎贴在一起。” 说着，他在图上又画出了第二条曲线，从原点出发，缓缓上升。 可以看到，两条曲线在原点处完美重合。 “这，就是问题所在。” 他在两条曲线的交点处画上了一个圆圈。 “在这个点上，两条解曲线的斜率是一样的，都是零。” “方向场在这个点给不出任何区分，你沿着x轴走可以，你顺着(x3)³走也可以。” “方向场在这里分不清该往哪儿走，所以两个解都成立。” 他放下粉笔，目光扫视整个教室，最后又看向张洪涛。 “这就是为什么解不唯一。” “不是因为方程有什么错误，而是因为在y=0这个点，方程给出的方向指引太模糊了，模糊到两条完全不同的路径都符合要求。” “用之前您讲过的话来说就是方向场在这个点退化了。” 他的讲解结束了，但整个教室却依旧像是被人按下了暂停键。 没有半点声音！ 张洪涛双手抱胸，目光紧紧盯着黑板上的推导过程，眼神复杂。 两条曲线从原点出发，一条贴着x轴躺下，一条缓缓上扬。 交点处一个圆圈，旁边写着“方向场退化”五个字。 简洁。 直观。 漂亮。 如果说前面的利普希茨条件是完美，那刚刚讲的斜率就是极其完美。 “方向场退化……” 他看着，又忍不住念着，语速很慢很慢。 其实，正如林枫猜想的那样，他出这道题也是为了检验前面学过的斜率知识学生们掌握的如何。 但他对于这道题能否解决，并没有抱有希望。 这些年来，他在江阳师范带过的数院学生没有一千也有八百，每年都会出一个类似的变种题，但无一例外，用方向场的几何直觉去解释解的非唯一性，这个思路都想不到。 而且他也没讲过，因为没必要。 考试不考这个角度，学生也理解不了。 他本来想的是，谁要是能想到从斜率出发，那就可以算是做对了，这种数学思维，平时分给个满分也没有什么。 但，林枫不仅给出了利普希茨条件的超纲解法，更是给出了斜率的思路，并且把整个推导过程讲的一清二楚、明明白白。 这真的令他太惊讶了。 没忍住，伸出双手，鼓起掌来。 啪！ 啪！ 啪！ 掌声在安静的教室里显得格外突兀。 “讲得非常好。” “第一个解法，利普希茨条件，严谨规范，说明你的自学能力很强。” “第二个解法，方向场的几何解释，直观清晰，说明你真正理解了这道题的本质。” “林枫是吧？我记住你了！你真的很不错！” 他看着林枫的眼神充满了欣赏。 要知道，张洪涛作为学院派老教师，想要获得他的称赞是很难的，但林枫却接连获得了两句称赞，足以见得前者是多么的认可。 “行了，你回去坐着吧，你的平时分我会给满分的，你放心，我说话算数。” 听到这，林枫点了点头，心中也略微有些激动。 不是因为解出了这道题，而是因为平时分一满，高数这门课就可以不用再操心了，以后甚至上高数课刷行测申论都没问题。 当然，这想法要是被张洪涛知道，恐怕会立马收回刚刚的承诺。 平时分拿满分，就为了上我的课刷考公题？ 别太过分了！！！ 不过，这些都是后话了。 林枫一边想着，一边朝自己的座位走去。 当走到一半的时候，教室里这才终于有了动静。 “卧槽！！！！！” 不知是谁直接爆吼一声，就像是积压了许久的情绪瞬间爆发一般。 紧接着，班里就跟马蜂窝一样，嗡嗡声四起： “真做出来了？真做出来了？他真的会啊？” “不是，用利普希茨条件就算了，竟然还能用斜率来解题？这太牛逼了吧！” “什么情况？我刚刚听他讲斜率这部分我竟然听明白了？” “我也听懂了，感觉都是之前张老师讲的内容。” “我靠，那个方向场退化的说法也太形象了吧？两条路都能走，所以解不唯一？” “等等，这还是昨天逃课被抓的林枫吗？怎么感觉和之前不一样了？” “你们说，他会不会是在逃课自学啊？” “你别说，还真有可能！” …… 讨论声就没停过。 临近下课，张洪涛也没有刻意维持纪律，任由这群学生宣泄着心底的震撼。 这其中最震撼的还要属陈坤，整个人看起来都魂不附体了。 从林枫讲斜率开始，他的嘴巴就张着，一直没合拢过。 等林枫坐回到他旁边的时候，他更是忍不住来了一句：“枫哥！你是不是被夺舍了？还是被外星人附体了？你还是我的枫哥吗？” “当然了！你少看点小说吧！” 林枫带着无奈地笑了笑。 对于陈坤，他并不反感。 依稀记得上一世这个摆烂的活宝毕业后进了蓉城某家外贸公司做了销售，因为口才不错，最后还开上了宝马3系，发的朋友圈让他感慨极了。 很快，下课铃便响了起来。 “叮铃铃——” 这下，教室里瞬间变得更热闹了，有收拾书本的，有约着一起吃饭的，还有凑在一起八卦的，乱成了一锅粥。 林枫也打算跟着陈坤前往食堂，而且这会儿真的是太饿了。 昨晚上学了个通宵，今早上还没吃早饭，刚刚在台上那会儿就感觉前胸贴后背的，现在，更是迫不及待了。 “走走走，快去食堂，我快饿死了。” 他催促着陈坤起身。 但也就在这时，一道清脆的女声从前排传了过来： “林枫！” 他顺着声音一看，只见宋清歌快步朝他走来。 “等等林枫，我有个问题想问问你。” 这一幕，令班里不少同学的动作都慢了下来。 宋清歌喊住了林枫？ 一边是清秀女学霸，一边是逆袭学渣，现在下课了，这是要干什么？ 质问？ 还是…… 请教？ 不由自主地，都停下了脚步。 八卦之火在无声中瞬间燃遍整个教室。 包括讲台上的张洪涛，收拾教案的动作也慢了半拍。 “有事吗？” 林枫倒是很平静，他转过头，目光直视宋清歌。 这一看，后者竟不由得有些俏脸微红，目光也不敢直视回去，甚至微微低下了头。 而之所以会这样，要从军训时说起。 前不久，大一军训的时候她便注意到了林枫，个子很高，有一米八多，长得也算是小帅，尤其是笑起来的时候有点痞，但又不令人讨厌。 后来分了班，恰好在一个班。 再后来，他开始找她借作业抄。 每次他找过来的时候，她都会故意把字写得工整一点，然后装作很不情愿地把作业递过去。 但其实…… 心里还挺开心的。 虽然没谈过恋爱，但她也知道，自己恐怕是对对方有好感的。 尤其是今天，看到讲台上那个侃侃而谈的身影，看到对方轻描淡写地讲出利普希茨条件、方向场退化，这些连她都没想到的知识点。 那一瞬间，她心里某根弦好像被拨了一下。 所以，才会有现在脸红的这一幕。 “那个……就是想问一下，上周《数学分析》王成民教授布置的那个课后第五题，你会做吗？” 她的声音很小，依旧有些微微低头。 但周围竖着耳朵偷听的同学们却听得很清楚。 一时间，不少人都开始回忆起来。 “上周数分作业第五题？是那道微分方程的题？” “好像是的，我当时记得我直接跳过了，因为我连题目都看不懂。” “我也一样，这东西感觉都不是我能做的，我还是有自知之明的。” “谁说不是啊，我做了一半发现做不出来直接果断放弃了，没想到宋学霸也没做出来。” “啧啧，看来这道题是真的难啊！不过，她怎么问林枫啊？难道她觉得林枫能做出来这道题？” “这不太可能吧？难道林枫不仅高数厉害，数分也厉害？难道他昨天逃课真是因为数分都会了？” …… 教室里再次响起了窃窃私语声。 听到这个问题，看着眼前的清秀少女，林枫脑海里瞬间浮现出了关于对方上一世的记忆。 上一世，自己大学四年可没少抄对方的作业，虽然两人交流不多，但这份恩情他一直记着。 特别是，这位女学霸后来考上了研究生，研究生毕业又考上了江阳市财政局公务员，妥妥的前途无量。 后来他被大运送回来之前，还听他们这一届的同学讨论过，据说已经当上财政局审批科科长了，绝对的实权。 这是什么？ 这是潜力股！ 这是未来他在进入体制后的大腿！ 所以，于情于理，于公于私，这个关系都得维护好。 如今，重活一世，人家主动找上门来请教问题，这必须得好好解答。 “会做！” 他的回答干脆利落。 但令在场还没走的学生们都是一愣。 不是，这也会做？ 宋清歌也是一样，先是一愣，接着眼睛一亮，抬起头，语气里带着一丝期盼和惊喜： “那……你能给我讲讲思路吗？” “我用分离变量法算出来一个解，但总感觉不太对，好像还有别的解，但又不知道怎么找。” 她的表情写满了困惑。 林枫看着她，又扫了一眼周围还没散去的吃瓜群众，点了点头。 “行啊，当然可以。”