6、给未来的市局女科长讲题？

还是那句话，给未来的财局女科长讲题，林枫是万万不会拒绝的。 但这话一出就立马遭到了陈坤的反对： “不是，枫哥，咱们不吃饭了吗？你刚还说你要饿死了呢！” 林枫瞥了他一眼。 “讲完再吃。” 陈坤当场痛苦面具。 “枫哥，咱不带这样玩的，你说的……” 林枫根本没接他这茬，任由他在那里喋喋不休，转头看向宋清歌： “题目你带了吗？” “带了！” 宋清歌赶忙从手中的高数课本下拿出了数分课本，翻到了那一页，递了过来。 “你看，就是这个第五题！” 林枫微微点头，接过来扫了一眼。 正是那道他从中找到论文方向的第五题。 题干不长： “求微分方程y"=y^(23)在初始条件y(0)=0下的解，并讨论其解的唯一性。若初始条件作微小扰动y(0)=，分析解的变化。” 说实话，这题放在大一数分作业里，确实有点阴间。 这些大一学生，包括宋清歌，都不会做，也很正常。 前半部分还可以说是微分方程入门，后半部分“微小扰动”四个字，已经有点研究的味道了。 不过，现在这道题对他来说，根本不算什么。 “你做到哪一步了？”林枫问道。 宋清歌把自己的草稿纸也递了过来。 “我分离变量得到3y^(13)=x+C，代入y(0)=0，得到C=0，所以y=(x3)^3。” “然后y=0也满足。” “可后面的扰动，我不会处理。” 她顿了顿，声音小了些。 “而且我总觉得，解应该不止两个。” 听到这，周围几个基础稍微扎实的学生也暗暗点了点头。 他们和宋清歌的感觉一样，这也是为什么他们做了一半就放弃了。 就在这时，林枫开口了： “其实，你的感觉是对的，这道题的解确实不止两个，准确来说，有无穷多个。” 这下，周围众人都惊呆了。 什么情况？ 无穷多个？ 这答案也太离谱了吧？ 是真的吗？ 宋清歌也愣在原地。 她原本只是隐约觉得哪里不对，可她没想到，林枫会直接给出这么一个答案。 无穷多个？ 这她有点没太明白！ 林枫也没有过多废话，拿起前者的草稿纸还有她的笔，便直接在上面写了起来： y=0 “第一类，恒等于零。” 接着又写： y=((x-a)3)^3，x>a y=0，x≤a 写完之后，他把笔尖点在参数a上。 “第二类，先躺在x轴上，到某个位置a之后，再沿着这条三次曲线爬起来。” 讲到这里，旁边的陈坤已经听懵了。 “等一下，枫哥，什么叫先躺着再爬起来？” 这句话问出了所有人的心声。 林枫淡淡道：“你可以理解为，这个解一开始就在装死。” “啊？装死？” “对，它在x≤a的时候就是y=0，导数也是0，完全满足方程。” “到x>a的时候，它变成y=((x-a)3)^3，你代进去，还是满足y"=y^(23)。” 陈坤瞪着草稿纸，下意识喊道： “不是，这他妈不是耍无赖吗？” 这话把旁边几个同学都逗乐了。 宋清歌却没笑。 她盯着林枫写出来的分段函数，手指轻轻指着x=a的地方。 “可是这里会不会不光滑？” “会。” 林枫接过话。 “所以关键就在这里。” 他在x=a处写下： 左导数：0 右导数：lim[x→a+]((x-a)^2)9=0 “左边导数是0，右边导数也是0。” “函数值也都是0。” “所以它在拼接点处可导。” “并且导数等于y^(23)=0。” 宋清歌低头看着那几行推导，呼吸都慢了半拍。 她之前卡住的地方就在这。 她想过可能存在别的解，却没想到可以用“延迟出发”的方式构造出来。 这时，周围围观的同学也越来越多，有人忍不住开口问道：“那a可以随便取？” 林枫微微点头，“只要满足初值条件就行。” 他又在纸上补了一行： 若a≥0，则y(0)=0 “所以每一个a≥0，都能给出一个满足y(0)=0的解。” “这就是无穷多个。” 这一刻，周围彻底安静了下来。 和之前林枫在讲台上一样，这道第五题他也讲的深入浅出，不少学生都听明白了。 也正因此，所有人心中都掀起了惊涛骇浪。 谁能想到，平常在学习上毫不起眼的林枫，竟然又会做高数题又会做数分题，而且还都是这种连高考138分学霸都解决不了的难题，这真的太意外了。 “你们说，这林枫没上老王的课是不是真的去自学去了？不然，怎么这么强？” “这很有可能啊！这种难题他都会，我要是他我也没有上课的必要啊！” 有人小声嘀咕着。 而陈坤听到老王两个字，脸都绿了。 “不是哥们，你要夸我枫哥就好好夸啊，提什么老王啊，我现在听见这俩字就心梗。” 周围又是几声嗤笑。 站在中间的宋清歌却没管这些，她马上追问道： “那扰动呢？如果y(0)=，怎么分析？” 林枫把纸往自己面前拉了拉。 “这个要分情况。” “如果>0，分离变量法可以直接算。” 他写下： 3y^(13)=x+C y(0)= C=3^(13) 所以： y=(x3+^(13))^3 “这个时候，初值不在0上，解会被固定住，没法继续装死。” 陈坤忍不住插嘴： “为什么不能装死了？” 林枫瞥了他一下。 “因为它起点已经不在地上了。” 陈坤恍然大悟。 “哦~之前在地上，所以想什么时候爬都行，现在站起来了，就没法再装睡了。” 林枫有些无语。 “你理解的很形象。” 周围再次响起一阵笑声。 但笑完之后，不少人真的听明白了。 宋清歌拿着笔，在自己的本子上快速记着。 她写得很认真，写到“装死”两个字的时候，又赶紧划掉，改成“停留在零解上”。 林枫看见这一幕，差点没绷住。 这未来的女科长还挺严谨。 “那趋近于0的时候呢？” 宋清歌继续追问。 “这个解会趋近于y=(x3)^3。” 林枫在纸上画了个箭头。 “也就是说，正扰动会选中那条马上离开零点的解。” “但原方程在=0的时候，还有一大堆延迟离开的解。” “所以这里的扰动很敏感。” 他停了停，又补了一句： “这也是这道题最有意思的地方。” “初值只要从0动一点点，结构就变了。” “这就是我刚才说的，奇异点。” 宋清歌的表情明显一滞。 “奇异点……” 这三个字和之前的利普希茨条件、皮卡定理一样，也没有听过。 看来又是超纲知识！ “所以……这也是你自学的？” 林枫点了点头。 “还因为感觉有意思才自学的？” 林枫又点了点头。 宋清歌沉默了，直视着他，仿佛第一天认识般，很是陌生。 所以…… 平常抄自己作业是为了和自己拉近距离？ 她的脑海里，突然蹦出了这个想法。 但很快—— 就被她甩了出去！ 现在正在讲题！ 现在不是胡思乱想的时候！ 集中精神，再次看向眼前这道题。 “如果a可以任意取，那这些解是不是都可以看成从零解上分叉出去？” 她的声音比刚才大了一点。 “可以这么理解。” “那扰动之后，为什么只选中了马上离开的那条？是不是因为大于0以后，初始点已经避开了奇异点？” “对。” 林枫把纸翻到空白处，又补了两行。 “>0时，初始点在y=上，右端函数在这个附近比较规矩。” “它不会再卡在y=0那条线上，所以解的结构一下子就简单了。” 宋清歌马上接上： “也就是说，趋向0时，扰动解趋向的是a=0的那支，而不是所有a≥0的那些延迟解。” “嗯。” 林枫看了她一眼。 不愧是未来的财政局女科长，这理解能力确实可以。 他只是讲了框架，她已经能往后推了。 旁边有几个同学听到这里，忍不住拿出手机拍起了草稿纸。 陈坤有些急了。 “哎哎哎！干嘛呢？这是我枫哥现场讲义，拍照要收费的啊！” 一个男生当场怼回来： “你收个屁，又不是你写的。” 陈坤理直气壮： “我是他室友，精神股东懂不懂？” “滚！” 周围笑成一片。 林枫也被这货整无语了。 “行了，别闹，我真饿了。” “对对对，吃饭！” 陈坤赶紧把书往包里一塞，“再不去食堂，红烧肉都没了。” 可他们刚准备离开，身后便传来张洪涛的声音。 “林枫，你等一下。” 林枫脚步一滞。 不是，这老张怎么还没走？ 他转过身，发现张洪涛已经从讲台上走了下来，并且还拿起了刚才那张他推导的草稿纸。 老张没有立刻开口，反而弯腰看了起来。 周围原本要走的学生，动作又慢了下来。 有热闹不看，那是对大学生活的不尊重。 陈坤拿着课 “枫哥，这老张要干嘛啊？难道你刚刚讲错了？” 林枫也有点茫然。 不应该啊？ 有15100的经验值，再加上数学思维强化能力，这道题他不可能做错啊？ 再说了，他论文还是从这道题里延伸出来的。 他很不理解！ 包括周围的学生，也是一样。 难道林枫讲错了？ 张洪涛看得很细。 先看恒等零解。 再看分段构造。 最后停在“y(0)=”那几行推导上。 他拿起宋清歌的笔，在旁边补了个“>0”的限定，又在分段解的拼接点下面点了一下。 “这里，你刚才讲过可导性了？” 宋清歌赶紧点头。 “讲过了，左导数右导数都是0。” 张洪涛嗯了一声，又看向林枫。 “你这个构造，是自己想出来的？” 林枫没有把话说死。 “昨晚查资料的时候看到过类似思路，今天结合题目整理了一下。” “类似思路？” 张洪涛重复了一遍，没继续追问，而是把草稿纸拿起来，仔细看了半分钟。 最终放到了桌上，目光注视着林枫，缓缓开口道： “这题不是简单的课后练习。” “前半部分考解的非唯一性，后半部分考扰动对解结构的影响。” “能把无穷多解构造出来，再把扰动选支讲清楚，说明你确实理解了。” 说到这，他顿了顿。 “老王这道题，出得有点狠。” “但——” “你！林枫！你也不一般啊！” “能把这道题写出来，并且还超前自学奇异解、利普希茨条件，你真的很不错！” 说到这，他又顿了下。 “对了，听说老王罚你写论文了？写不出来就要挂科？” 林枫微微叹了口气，很不情愿地点了点头。 “怎么？需不需要我帮你给他求求情？” 这话一出，林枫先是一怔，接着立马激动起来。 求情？ 求情好啊！ 虽然他找老王求情没用，但不代表老张找老王就没用！ 要是能取消惩罚，他就不用写论文了，也就有时间备考考公了！ “真的吗？张教授？” 因为激动，称呼都变了。 “呵呵！骗你的，别想了，老王这个人我很熟，他一个连院长都敢当面阴阳当面怼的，他决定的事情，别说是我，院长来了都没用。” 张洪涛挑了挑眉，一脸的笑容。 而这也令林枫绷不住了。 不是…… 办不了你说集贸啊！ 开玩笑很有意思吗？ 他很难受。 他很无语。 “所以啊，要么写出来论文，要么就要挂科，自求多福吧，林枫同学。” 说完，张洪涛拍了拍林枫的肩膀，转身就要离开，但刚走两步就又停了下来： “对了，我提醒你一句，老王看论文很挑的，你拿一篇拼凑的东西过去，他不会因为你是大一就放水的，甚至还会非常生气。” “可能补考都不会让你过得？” “所以……” “林枫同学，好好写吧！”